Question

高中数学 导数 y=a^x导数证明中的步骤

y=a^x,
Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)
Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx
如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。
所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0时，(1+β)^1/β=e,所以limβ→0时，1/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把这个结果代入limΔx→0时，Δy/Δx=limΔx→0时，a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。
可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

以上是证明y=a^x的导数的有关过程
请问 (a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β是什么意思 还有为什么limβ→0时，(1+β)^1/β=e,
我没算出来 谢谢！ 求详解呀~

Answer 1

1. 就是把所设辅助函数β=a^Δx-1代入就得到了这个结果呀：

         (a^Δx-1)/Δx

        =β/loga(1+β)

        =1/[(1/β)loga(1+β)]

        =1/loga(1+β)^1/β

2.我们是将这个极限最终所趋向的那个数称为e ，也就是取名为e，而不是它趋向于e:

    

Answer 2

(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β) 这一步是代入
=1/loga(1+β)/β 将β 除下来
=1/1/ β loga(1+β) 除以β相当于乘以1/ β
=1/loga(1+β)^1/β 对数的运算法则 nlogab=logab^n
limβ→0时，(1+β)^1/β=e 这是一个公式，需要用高等数学的知识才能证明

Answer 3

(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga[(1+β)^(1/β)]

β→0时，lim ln[(1+β)^1/β]=lim [ln(1+β)/β]=lim [ln(1+β)]'/(β)'=lim1/(1+β)=1,
所以β→0时，lim [(1+β)^(1/β)]=e,