Question

）在数列{an} 中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n, （1）求证：数列{an/2^n}是等差数列， （2）求数列{an}的通项公式

（3）设数列{an}的前n项之和Sn,求证：Sn/2^2>2n-3

Answer 1

（1）由a(n+1)=2an+2^n,两边除以2^(n+1)，a(n+1)/2^n=2an/2^n+1
a(n+1)/2^（n+1）=an/2^n+1/2,令Bn={an/2^n},则B(n+1)-B(n)=a(n+1)/2^（n+1）-an/2^n=1/2
所以数列{an/2^n}是等差数列
（2）、由（1）可得an/2^n=1/2+(n-1)/2=(1/2)n所以an=(1/2)n2^n=n2^(n-1)
所以an=n2^(n-1)+
（3）由Sn=1+a2+a3+a4+a、、、+an=1+(2a1+2^1)+(2a2+2^2)+(2a3+2^3)+、、、+(2a(n-1)+2^(n-1))=1+2^1+2^2+2^3+、、、+2^(n-1)+2a2+2a3+2a4+、、、+2a(n-1)=1+2^1+2^2+2^3+、、、+2^(n-1)+2(S(n-1)-1),算出Sn=2^(n-2)-2+2Sn-1

Answer 2

第1问：
设数列｛bn｝，且bn=an/2^n
则an=bn*2^n
代入a(n+1)=2an+2^n
得b(n+1)*2^(n+1)=2bn*2^n+2^n
2b(n+1)=2bn+1
b(n+1)-bn=1/2
所以数列｛bn｝即数列｛an/2^n｝是公差为1/2的等差数列

第2问：
b1=a1/2^1=1/2
所以bn=1/2+(n-1)*1/2=n/2
an=bn*2^n=(n/2)*2^n=n*2^(n-1)

第3问：
Sn=1*2^(1-1)+2*2^(2-1)+3*2^(3-1)+……+n*2^(n-1)
2Sn=1*2^(2-1)+2*2^(3-1)+3*2^(4-1)+……+n*2^n
Sn-2Sn=1*2^(1-1)+[2^(2-1)+2^(3-1)+……+2^(n-1)]-n*2^n
=2^(1-1)*(1-2^n)/(1-2)-n*2^n
=2^n-1-n*2^n
=(1-n)*2^n-1
Sn=(n-1)*2^n+1
Sn/2^2-2n+3
=[(n-1)*2^n+1-8n+12]/4
=[(n-1)*(2^n-8)+5]/4
因n为正整数
当n=1或n=3时
Sn/2^2-2n+3=5/4>0
当n=2时
Sn/2^2-2n+3
=[(n-1)*(2^n-8)+5]/4
=(2^2-8+5)/4
=1/4>0
当n≥4时
n-1>0且2^n-8>0
所以
Sn/2^2-2n+3
=[(n-1)*(2^n-8)+5]/4>0
因此当n为正整数时，恒有
Sn/2^2-2n+3>0
即Sn/2^2>2n-3

Answer 3

两边除以2^n，a(n+1)/2^n=2an/2^n+1
a(n+1)/2^n=an/2^(n-1)+1
公差为1.
首项为1。

后面的不用写了吧。