Question

已知数列｛an｝，a1=1，an+1=2an+3·2n+1。 （1）证明数列｛an/2n｝是等差数列 （2）求｛an｝通项公式

Answer 1

（1）由a1=3，an+1+an=3•2n，n∈N*．得：
an+1−2n+1＝−(an−2n)，
所以数列{an−2n}是以a1-2=1为首项，公比为-1的等比数列，
∴an−2n=（-1）n-1，所以an＝2n+(−1)n−1；
（2）假设存在连续三项an-1，an，an+1成等差数列，则由已知得：
2（2n+（-1）n-1）=2n-1+（-1）n-2+2n+1+（-1）n，（n≥2）
化简得2n-1=22×（-1）n-1，显然当n=3上式成立，
所以存在数列{an}中的第二、三、四项构成等差数列；
（3）由1＜r＜s且r，s∈N*，结合通项可知a1＜ar＜as，
由a1，ar，as成等差数列，可得2ar=a1+as，
即2•2r+2（-1）r-1=3+2s+（-1）s-1，整理得2r+1-2s=3-2（-1）r-1+（-1）s-1，
因为1＜r＜s且r，s∈N*，所以2r+1-2s的可能取值为0，8，…，而3-2（-1）r-1+（-1）s-1∈[0，6]，
∴2r+1-2s=0，
∴s=r+1（r≥2，r∈N）．

Answer 2

对于数列问题，如果不加几个括号，还真的看不明白到底是什么意思。
首先，说明一下，芊芊理解的递推式是这样的。
a（n+1）=2a（n）+3×2n+1。（这是芊芊接下来做题的基础。）
由上式可得
a（n+1）+6（n+1）+7=2[a（n）+6n+7]
令b（n）=a（n）+6n+7，可得
b（1）=14，b（n+1）=2（n）。
那么，可得b（n）=7×（2^n）
即有a（n）+6n+7=7×（2^n）
稍作整理，可得
a（n）=7×（2^n）-6n-7。
码字不易，敬请采纳。

Answer 3

你是想写2ⁿ⁺¹是吧，如果是，那么：
(1)
a(n+1)=2an+3·2ⁿ⁺¹
等式两边同除以2ⁿ⁺¹
a(n+1)/2ⁿ⁺¹=an/2ⁿ +3
a(n+1)/2ⁿ⁺¹ -an/2ⁿ=3，为定值
a1/2=½
数列{an/2ⁿ}是以½为首项，3为公差的等差数列
(2)
an/2ⁿ=½+3·(n-1)=3n - 5/2
an=(6n-5)·2ⁿ⁻¹
n=1时，a1=(6·1-5)·2⁰=1，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=(6n-5)·2ⁿ⁻¹

Answer 4