Question

已知关于x的一元二次方程x^2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0,且a>b>c>0. （1）

已知关于x的一元二次方程x^2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0,且a>b>c>0. （1）若方程有实数根x0，求证：b+c<x0<a,

Answer 1

a>b>c>0,
由x^2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0得
(x-a)[x-(b+c)]=-bc<0,
∴x0介于a与b+c之间。
如果没有条件"b+c<a",那么就无法证明b+c<x0<a。

Answer 2

设y＝x 2 －(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca 则当x＝b＋c时，y＝bc＞0；当x＝a时，y＝bc＞0 函数y＝x 2 －(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca图象的顶点坐标为（a＋b＋c 2
，－ △ 4
） 当x＝ a＋b＋c 2
时，y＝－ △ 4
≤0由（1）知a＞b＋c，∴b＋c＜ a＋b＋c 2
＜a ∴方程的实数根在b＋c与a之间，即b＋c＜x0＜a