Question

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1/2AA1，D为棱AA1中点，DC1垂直于BD 求二

面角A1-BD-C1
1（请用建立空间向量的方法求出二面角）2（希望过程详细）3给出一个平面A1DC1的法向量）

Answer 1

1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°
同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°
∴DC1⊥DC，DC1⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC1⊥面BCD
∵BC⊂面BCD
∴DC1⊥BC
（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，
∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC
取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH
∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，
∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，
∴C1O⊥面A1BD
∵OH⊥BD，∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1-BD-C1的平面角
设AC=a，则C1O= 2 a 2 ，C1D= 2 a=2C1O，
∴sin∠C1DO=1 2∴∠C1DO=30°
即二面角A1-BD-C1的大小为30°