Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB,试说明AC+CD=AB

Answer 1

作DE垂直AB于点E
因为AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠DAB，又AD＝AD，∠C=∠AED=90°
所以三角形ACD≌三角形AED，所以AE＝AC
因为AC＝BC，所以，∠B=45°，因为∠AED=90°，所以∠EDB=45°=∠B
所以ED＝EB
所以AC+CD＝AE+EB＝AB

Answer 2

解：

延长AC至AE 使CD=CE

∵CD=CE

∴∠CDE=∠CED=45°

∠ADE=∠ADC+45  ∠ADC=∠ABD+∠DAB=45+∠DAB

∴∠ADE=90+∠DAB

∵∠ADB=∠ACB+∠CAD=90+∠CAD

∠CAD=∠BAD

∴∠ADE=∠ADB  ∵∠DAE=∠DAB  AD=AD

∴△ADE≌△ADB

∴AE=AB  AE=AC+CE  CE=CD

∴AC+CD=AB

Answer 3

1、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，可知△ABC是等腰直角三角形，AB=（根号2）AC
2,AD平分∠CAB，得到tan22.5=tan(45/2)=（根号2）-1=CD/AC
所以，CD=[（根号2）-1]AC
AC+CD=AC+[（根号2）-1]AC=（根号2）AC
3、结合1、2两点的结论，得到AC+CD=AB

Answer 4

过D点做DE垂直于AB
∠B=45°，则DE=BE
又AD平分∠CAB，
则根据角平分线上的点到角两边的距离相等
得DC=DE=BE,易得AC=AE
所以，AC+CD=AE+BE=AB

Answer 5

作DE垂直AB于点E
因为AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠DAB，又AD＝AD，∠C=∠AED=90°
所以三角形ACD≌三角形AED，所以AE＝AC
因为AC＝BC，所以，∠B=45°，因为∠AED=90°，所以∠EDB=45°=∠B
所以ED＝EB
所以AC+CD＝AE+EB＝AB

Answer 6

作DO垂直于AB
因为AB平分角BAC
且DO垂直于AB DC垂直于AC
所以DO=DC
证明三角型 AOD与三角形 ACD 全等 （这不用说了吧）
然后 AO = AC
又因为 角 B = 45 度 角 BOD = 90度 所以 角 ODB = 45度
所以 OD＝OB　又因为　AO＝AC　
所以　AB= OD+OA 所以 AB=AC+CD