Question

求(2n-1)/（2^n） 的最大值，n是正整数

Answer 1

设f(n)=(2n-1)/（2^n）,n是正整数。则，f(n+1)-f(n)=(2n+1)/（2^n*2）-(2n-1)/（2^n）=(n+1/2)/（2^n）-(2n-1)/（2^n）=(-n+3/2)/(2^n).当n=1时，这个值为正数，其余的时候就等于负数。也就是n>1时，f(n)为递减函数。而f(1)=1/2,f(2)=3/4,又因为f(2)>f(1），所以这个函数的最大值为3/4

Answer 2

解：
[2(n+1)-1]/2^(n+1) -(2n-1)/2ⁿ
=[2(n+1)-1-2(2n-1)]/2^(n+1)
=(3-2n)/2^(n+1)
2^(n+1)恒>0，n≥2时，3-2n<0，[2(n+1)-1]/2^(n+1) -(2n-1)/2ⁿ<0
[2(n+1)-1]/2^(n+1)<(2n-1)/2ⁿ，即n≥2时，随n增大，分式的值单调递减。
只要比较n=1和n=2时分式的值。
n=1时，(2-1)/2=1/2
n=2时，(4-1)/4=3/4>1/2
(2n-1)/2ⁿ的最大值为3/4。

Answer 3

解：令f(x)=(2x-1)/(2^x)
则：
f'(x)=[2*(2^x)-(2x-1)(2^x)ln2]/(2^x)^2
=[2-(2x-1)ln2]/(2^x)
令f'(x)=0
则：2-(2x-1)ln2=0
x=(2+ln2)/(2ln2)<2
则：
当n>2时,(2n-1)/(2^n)单减
n<=2时，（2n-1)/(2^n)单增
故n=2时 (2n-1)/(2^n) 取最大值3/4

Answer 4

2