Question

对向量场的曲面积分 和 斯托克斯公式 的区别

曲面积分的公式中有对向量场的形式，即F·n的二重积分
斯托克斯公式也可以用于求曲面积分，即curlF·n的二重积分
请问两者在计算时有何区别？
例：
F=<x,y,z> across the slanted surface of the cone z^2=x^2+y^2, for 0<=z<=1, normal vectors point in the positive z-direction.
这道题是用曲面积分的向量形式公式来求解，是否可以用斯托克斯公式计算？
如可以，该如何？
如不可，为何？

Answer 1

斯托克斯公式，格林公式，高斯公式之间的关系
斯托克斯公式：把空间内曲线积分转换成第二类曲面积分。
格林公式：把平面内曲线积分转换成第一类曲面积分。
高斯公式：把第二类曲面积分转换成三重积分。
注意一下第一类曲线曲面与第二类曲线曲面之间的关系
14年刚刚考完记得这些，满意请采纳

追问

学的是国外教材，没有第一类和第二类的分别，所以这一类答案一概看不懂，不好意思

追答

如果没学过第二类就是有方向的，第一类就是无方向的。斯托克斯公式就是三维空间有向封闭曲线应用的公式，应用之后转化成曲面的的公式。

追问

那你能针对我的问的例题解答一下么？

追答

题目给的锥面是曲面积分，给了方向，应该用高斯公式，不是斯托克斯。
斯托克斯只应用于曲线积分，前提是封闭的。

追问

斯托克斯公式确实可以求曲面积分，你可以百度一下

追答

那是应用了斯托克斯公式之后，得出了曲面积分。知识是一样的，咱们学的也是相通的。
公式简介
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系。

Answer 2

斯托克斯公式是用来求空间内由封闭曲线围成面的面积积分，并将其转化成线积分来计算，这里是个圆锥面的面积积分，应该不可以用斯托克斯公式来计算的。

追问

F=, where S is the hyperboloid z = 10 - (1+x^2+y^2)^0.5, for z>=0. 这道题是求双曲面的曲面积分，题目让用斯托克斯公式，但我觉得他也是不封闭的啊，为什么可以用斯托克斯公式。
另外，之前圆锥的Z也被限制在0-1之间了，我觉得是封闭的啊，怎么解释...你说的我都乱了

追答

我是这样理解的，由封闭曲线围成的面积积分可以用，那么这个曲面肯定是在一个平面内是不是？圆锥曲面是立体的，那肯定不能用啦

追问

可是追问1里面的双曲面也是立体的，为什么能用stokes？

追答

抱歉，我只能说我也不知道，，