Question

美国的高中数学题：三角形ABC,AC为18,D为AC上一点,AD为5,D到AB,BC两边的距离分别为4和5，求三角形ABC面积

很明显，这不是个直角三角形。。。。

Answer 1

如图△ABC(AC=18)，做辅助线ED(ED=4),DF(DF=5),AB边高CG,BC遍高AH，AH交CG于M，

因为DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，所以∠AED=90°，∠DFC=90°，根据勾股定理，得出AE=3,FC=12(我大致讲一下思路哈)

不难看出，△ADE相似△ACG,△DFC相识△AHC,△AGM相似△CMH

则有GC/ED=AC/AD,HC/FC=AC/DC=AH/DF,得出GC=14.4,HC=216/13,AH=90/13

 且AG/CH=GM/MH,又因为MH=AH-AM,AM=根号下（AG的平方+GM的平方），

推导出GM,

又△AGM相似△AHB，则GM/BH=AG/AH,得出BH

△ABC面积=AH*(BH+HC)/2

算出即可。（有点复杂，你自己算算看嘛）

Answer 2

哥不相信这是美国高中数学题
听说美国高中题目很简单

不过此题的解题思路很简单，常用的三角形面积的求法有：
(1)S△=1/2ah （a是三角形的底，h是底所对应的高） (2)S△=1/2acsinB＝1/2bcsinA＝1/2absinC （三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，参见三角函数） (3)S△=√〔p(p-a)(p-b)(p-c)〕 〔p=1/2(a+b+c)〕（海伦—秦九韶公式）

本题用正余弦定理比较简洁:
sinA=4/5 sinC=5/13
正弦定理：a/sinA=c/sinC 得知 4a/5=5c/13......①
余弦定理：cosA=(b^2+c^-a^)/2bc.....................②
已知条件：b=18...............................................③
由①②③得出 a，c的值
再由S△=1/2acsinB＝1/2bcsinA＝1/2absinC （三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c）即可得到面积

不想去算结果了，希望思路对你有用！

Answer 3

我错了 。重做一遍。
sinA=4/5 sinC=5/13 AC=18解三角形得
sinB=sin(A+C)=4*12/（5*13）+3*5/65=63/65真不是直角。
AB/sinC=AC/sinB=18*65/63=13*AB/5=5*BC/4 AB=50/7 BC=14/7
s△ABD=AB·DM/2=50*4/14=100/7
s△BCD=CB*DN/2=14*5/14=5
加起来135/7
口算的，可能有错。

追问

告诉我为什么AB是8，BC是16，哦，亲，我想你是把它看成可爱的直角三角形了。。。

Answer 4

 

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Answer 5

从B点做垂线到AC交于F，利用相似三角形，可以较容易得到BF的值。当然二元方程应该没问题吧。AC为18，高BF为40/7，可求得面积360/7