Question

求解一道关于高等代数的题

第一题：
设A，B都是实数域上的n阶方阵，求证：
(1)若存在复数u,使得det(A+uB)不等于0，则一定存在实数v,使得det(A+vB)不等于0；
(2)若存在复可逆阵P，使得P-1AP=B，则一定存在实可逆阵Q，使得Q-1AQ=B

Answer 1

(1) f(x)=det(A+xB)是关于x的实系数多项式，如果至少在一个复数点x=u处取值非零则说明f(x)不是零多项式，最多只有有限个实根

(2) 令P=X+iY, X,Y是实矩阵，那么AP=PB可以写成AX=XB, AY=YB.
取实数v使得Q=X+vY非奇异（在(1)当中取u=i即可），那么AQ=QB，即Q^{-1}AQ=B

当然，对于(2)更深刻的证明要用到lambda-矩阵，这里的技术比较适合于特殊的域