Question

在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，动点P与两个定点M（1,0），N（4,0）的距离之比为1/2. 求若直线

y=kx+3与曲线W交于A,B两点，在曲线W上是否存在一点Q，使得向量OQ=OA+OB，若存在，求出此时的直线l的斜率；若不，说明理由。

Answer 1

解：设动点P的坐标为（X，Y），则由已知有：根号下[（X-1）的方+Y的方]/根号下[（X-4）的方+Y的方]=1/2，化简得：X的方+Y的方=4———（1），若曲线W的方程为（1），与曲线W交于A、B两点的直线为：Y=KX+3———（2），假设在曲线W上存在一点Q，使得向量OQ=OA+OB，设A、B两点的坐标分别为（X1，Y1）、（X2，Y2），则Q点的坐标为（X1+X2，Y1+Y2），解由（1）、（2）组成的方程组得：X1+X2=-6*K/（1+K的方），Y1+Y2=6/（1+K的方），由于向量OQ=OA+OB,所以Q点的坐标为[-6*K/（1+K的方），6/（1+K的方）]，由于Q点在曲线W上，所以：[-6*K/（1+K的方）]的方+[6/（1+K的方）]的方=4，解之得K=2倍的根号下2，K=-（2倍的根号下2）