Question

如图①,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A

如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，求线段AE长的最大值和最小值。

Answer 1

解：
（1）BG=AE，
易得BD=DA，GD=DA，∠GDB=∠EDA；
故可得Rt△BDG≌Rt△ADE；
故BG=AE；

（2）成立：
连接AD，
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
△BDG和△AED中，
BD=AD

∠BDG=∠ADE
GD=ED
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；

（3）由（2）得BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；
易知当旋转角度为270°时，BG=AE最大值为1+2=3；
当旋转角度为90°时，AE取得最小值为1.

追问

最关键的最小值嘞，上面的我早会了

追答

上面写了啊，你会求最小值不会最大值？？都是余弦定理啊，ADE除了重合时始终为三角形，另DE与AD夹角为a，AE^2=DE^2+AD^2-2|AE||DE|cosa,显然a=0°时AE最小，即旋转角为90°时AE取得最小值1啊。