Question

已知圆C:x^2+y^2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0在直线OA上(O为坐标原点)，

存在定点B(不同于A点)，满足：对于圆C上任意一点P，都有PB/PA为一常数，试求所有满足条件的B的坐标。用类似于恒等式的方法

Answer 1

分析：（1）先求与直线l垂直的直线的斜率，可得其方程，利用相切求出结果．
（2）先设存在，利用都有PB/PA 为一常数这一条件，以及P在圆上，列出关系，利用恒成立，可以求得结果．解答：解：（1）设所求直线方程为y=-2x+b，即2x+y-b=0，∵直线与圆相切，
∴l -b l / √(2^2+1^2)=3 ，得 b=±3√5，
∴所求直线方程为y=2x±3√5 ，
解：
假设存在这样的点B（t，0），
当P为圆C与x轴左交点（-3，0）时，PB/PA =l t+3 l /2 ；
当P为圆C与x轴右交点（3，0）时，PB/PA =l t-3 l /8 ，
依题意，l t+3 l /2=l t-3 l /8 ，解得，t=-5（舍去），或t=-9/5 ．
下面证明点B(-9/5,0) 对于圆C上任一点P，都有PB/PA为一常数．
设P（x，y），则y^2=9-x^2，
∴ PB^2/PA^2=[(x+9/5)^2+y^2]/[(x+5)^2+y^2]=(x^2+18/5x+81/25+9-x^2)/(x^2+10x+25+9-^x2)=18/25(5x+17)/[2(5x+17)]=9/25，
从而PB/PA=3/5 为常数．