Question

已知f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1与x=-2/3时,都取得极值.

已知f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1与x=-2/3时,都取得极值.
(1) 求a,b的值.
(2) 若f(-1)=3/2,求f(x)的单调区间和极值.

Answer 1

求导，f'x=3x^2+2ax+b=0，此时x=1与x=-2/3都行，则得到方程

3+2a+b=0, 4/3-(4/3)a+b=0

所以a=-1/2, b=-2

又因为f(-1)=3/2=-1-1/2+2+c, 所以c=1
所以f(x)=x^3-(1/2)x^2-2x+1
f'x=3x^2-x-2，
单调区间为(负无穷，-2/3)单调增
(-2/3，1)单调减
(1，正无穷)单调增
极值为当x=1与x=-2/3时取得，分别为f(x)=-1/2, f(x)=49/27

Answer 2

(1)对f(x)求导得g(x）=3x^2+2ax+b,而x=1，x=-2/3是其两根，代入为0，解得，a=-1/2,b=-2.
(2)f(-1)=3/2,代入得c=1,分解因式，得（x-1/2)*(x^2-2)=0故根为x1=1/2,x^2=2故求得单调区间，极值则代入x=1,x=-2/3就可