Question

当π/4≤x＜π/2时，函数f(x)=(1+cos2x+8sin^2x)/sin2x的最小值是

Answer 1

f(x)=[1+cos2x+8(sinx)^2x]/sin2x

=[2(cosx)^2+8(sinx)^2]/(2sinxcosx)

=1/tanx+4tanx

π/4≤x<π/2，则tanx>=1

设tanx=t，则t>=1。

关于t的函数h(t)=4t+1/t在区间[1,+无穷)上单调递增，最小值为h(1)=5。

所以，函数f(x)的最小值是f(π/4)=5。

.

Answer 2

解
函数f(x)=[2cos²x+8sin²x]/(2sinxcosx) (∵1+cos2x=2cos²x, sin2x=2sinxcosx. )
=(cosx/sinx)+(4sinx/cosx)
=(4tanx)+[4/(4tanx)] (∵tanx=sinx/cosx)
可设4tanx=k,
易知，k≥4.且函数可化为：y=k+(4/k). (k≥4)
∴由耐克函数单调性可知：
当k=4时，(y)min=5.
∴原式的最小值=5

Answer 3

首先(1+cos2x+8sin^2x)/sin2x=

=(cosx^2+8sinxcosx)/(sinxcosx)

=cosx/sinx+8

=1/(sinx/cosx)  +8

 (sinx-0)/(cosx-0)有图形知是斜率，所以画图取其最大即可

 

所以当x=π/2 最小为8