Question

已知集合A={x|ax2+4x+1=0,x∈R},若集合A中有两个元素,且至少有一个是负实数,求实数a的取值范围。

Answer 1

令f(x)=ax²+4x+1，A中两元素就是函数f(x)与x轴交点的横坐标
函数对称轴为x= -2/a
首先△>0 ,a≠0 => a<4且a≠0（当a=0时，f(x)为一次函数，与x轴只有一个交点，不符合题意）
当a<0时，图像开口向下，-2/a>0，对称轴在y轴右边,由图像可知要满足题意
只要f(0)>0即可，而f(0)=1，恒大于0，所以a<0满足题意
当a>0时，图像开口向上，-2/a<0，对称轴在y轴左边，由图像可知要满足题意
只要顶点处f(-2/a)<0即可，f(-2/a)<0解得a<4
综上，a的取值范围为(-∞,0)∪(0,4)
因为要求是至少一负根，刚好与△>0解一样了，碰巧，所以直接解△>0 ,a≠0虽然答案一样但不对。
换个条件就不行，比如至少一个>5的根或两根<8的根（思路同理）。

Answer 2

一方面，由集合A中有两个元素，
则 a≠0且△>0，即a≠0且4^2-4a>0，于是a<4且a≠0，即a<0或0<a<4；

另一方面，由ax2+4x+1=0,x∈R，得A中元素没有0，
若集合A中两个元素都是正实数，则较小的实数一定是正数，
即[-4-√(4^2-4a)]/(2a)>0，
而显然-4-√(4^2-4a)<0，解得a<0.
于是集合A中两个元素至少有一个是负实数，则0<a<4.

综上所述，符合题设的实数a的取值范围0<a<4 .

Answer 3

a x^2+4 x+1=0的两根之积是a分之1不等于0，所以x1<0,x2<0或x1<0,x2>0。
若是前者x1+x2<0,且x1 x2>0,判别式>0,所以0<a<4;
若是后者x1 x2<0,a<0.
综上0<a<4或a<0

Answer 4

记f(x)=ax2+4x+1,由题得f(x)=0在实数范围内有两个不同的解，且至少有一个为负根 易知a不等于0 所以△=16-4a>0得a<4 由韦达定理知两根之和x1+x2=(-4)/2a 两根之积x1x2=1/a
易知当两根之和<0时必存在负根，得a>0,当两根之和>0时，得a<0,此时可知两根之积x1x2=1/a<0,即也必存在一负根
综上讨论得a<0或0<a<4

Answer 5