Question

线性代数构造范德蒙德行列式的一道例题，看不懂这句 Dn为什么会等于y^n-1的系数的相反数？ y^

线性代数构造范德蒙德行列式的一道例题，看不懂这句 Dn为什么会等于y^n-1的系数的相反数？ y^n-1的系数是如何求得？

Answer 1

p(y)按最后一列展开，得到一个关于y的n次多项式，其中y的n-1次方的系数是元素y^(n-1)的代数余子式。而y^(n-1)的余子式就是行列式Dn，所以只要算出多项式p(y)中的y的n-1次方的系数即可

追问

请问一下，y^(n-1) 的系数是 (-x1-x2-...-xn)∏(xi-xj) = -(x1+x2+...+xn)∏xi-xj) 是怎么计算出来的？

Answer 2

P(y)中 余子式 Mn,n+1 = Dn, 这没问题吧
P(y) 按第n+1列展开,等于
A1,n+1 + yA2,n+1 + ... + y^(n-1)An,n+1 + y^nAn+1,n+1
所以 y^(n-1) 的系数是 An,n+1 = (-1)^(n+n+1) Mn,n+1 = -Mn,n+1
所以 - y^(n-1) 的系数是Mn,n+1, 即 Dn

追问

那Mn,n+1怎么算出来和答案一样？就是那串很复杂的数？

追答

Mn,n+1 就是答案呀

追问

还是没听明白。负号后面接的那串东西是怎么来的？。。。

追答

p(y) = (y-x1)(y-x2)...(y-xn)∏(xi-xj)
y^(n-1) 的系数是 (-x1-x2-...-xn)∏(xi-xj) = -(x1+x2+...+xn)∏(xi-xj)
所以 -y^(n-1) 的系数 D = (x1+x2+...+xn)∏(xi-xj)

追问

〒_〒面条泪 就是因为不知道为什么y^n-1的系数会是-（x1+x2+…+xn）(xj-xi) 知道这个式子不知道它是怎么来的

追答

(y-x1)(y-x2)...(y-xn) 中 y^(n-1) 的系数

n-1 个括号中取y, 剩下的括号中 取 -xi
-x1y^(n-1) -x2y^(n-1) -...-xny^(n-1)

追问

谢谢。我今天问老师了。和是你一个意思，但是比较不那么抽象。万分感谢你的回复。~\(≧▽≦)/~

Answer 3

是