Question

线性代数中一道涉及行列式和整除性的题

题目在图片中，我想了好久了，也问了不少人，可是没有最终解决。
对照片的解说：行列式是范德蒙德行列式，未知元为a1至an，都为整数且互不相等，要求证行列式的值能够被1^(n-1)·2^(n-2)·……·(n-2)^2·(n-1)整除。
对了，要有详细步骤哦！
也可以加我QQ告诉我，qq:819824651
太复杂了，没看懂，难道没有更初等一点的证明吗？这是刚学行列式时见到的题目。

Answer 1

其实有很简单的做法。把最后一列每个元改成（ai）(ai-1)(ai-2)(ai-3)....（ai-（n+2））容易知道不影响行列式的值（相当于把第一列，第二列..倒数第二列的各自若干倍加到最后一列）。这样最后一行每个元都被（n-1）！整除，同样处理倒数第二行，可以提出（n-2）！。。这样依次下去就行了

Answer 2

简证：

设对于p^y次方来说，a_1 ,a_2,..., a_n中
mod p^y 余0 有 r0个
1 r1
2 r2
......
p^y-1 r(p^y-1)
则令S(y)=1/2*(Sigma(C(ri,2)))
由柯西定理的取值条件，S(y)越小时，ri分布越均匀，
最小时可取对mod p^y余数连续的n个数
此处与y值无关

于是我们可以直接取r0=n,ri=i(i>0)
此时必有对于任何y,S(y)最小

而Prod(i=1 to n-1)i!中p的次数=Sigma(y=1 to +inf)S(y)
于是因子最少时即为a_i=i时，

太好验证此时Van氏行列式值就为Prod(i=1 to n-1)i!，p的因子数刚好等的

得证

Answer 3

孩子，比较简单，但是我这里没有扫描仪呀

Answer 4

孩子，很想帮你解答，不过你觉得你那图片能看清吗？