Question

若对于一个自然数k，存在一个自然数n，使得9/17＜n/n+k＜8/15成立，则k的最小值是多少？

详细，要过程

Answer 1

9/17<n/(n+k)<8/15
也就是：
17/9>(n+k)/n>15/8
即
7/8<k/n<8/9
7,8,9是互质的，所以 k/n可以是 (8+7)/(9+8)=15/17
所以k的最小值是15，这时 n=17

Answer 2

9/17=72/136=144/272
8/15=72/135=144/270
n/n+k=144/271
144n+144k=271n
127n=144k
127与144互质
k最小为127

追问

可是我们老师说答案是15。

Answer 3

15是对的。

先取个倒数，再减1，得
7/8<k/n<8/9
再用1减，得
1/9<m/n<1/8
其中m=n-k

我们先考估计n最小是多少
由于m/n受到严格的限制，m越小n越小
但m不可能是1，所以考虑m=2，此时可发现n=17
满足1/9=2/18<2/17<2/16=1/8
此时m=2, k=15

容易证明，小于17的自然数n都不满足条件，所以
n>=17
下面证明k>=15
由7/8<k/n<8/9
k>7n/8>=7*17/8=119/8>14
所以k>=15
所以k=15,n=17是满足条件的最小的k和n

Answer 4

2,化减得k大于八分之七n小于九分之八n，再将n=1、2等依次代入，发现n=2时就有k=2符合题意

Answer 5

154151548