利用级数求定积分的值∫(0到∞)xdx/(e^x+1)
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解：当x＞0时，0<e^(-x)<1，故有
1/[1+e^(-x)]=Σ(-1)^n*e^(-nx) （n从0到﹢∞）
于是
∫(0到∞)xdx/(e^x+1)
=∫(0到∞)x*e^(-x)dx/[1+e^(-x)]
=∫(0到∞)x*e^(-x)*Σ(-1)^n*e^(-nx) （n从0到﹢∞）dx
=Σ∫(0到∞)x*e^(-x)*(-1)^n*e^(-nx) dx（n从0到﹢∞）
=Σ(-1)^(n+1)*∫(0到∞)x*e^(-nx) dx（n从1到﹢∞）
=Σ(-1)^(n+1)*1/n^2（n从1到﹢∞）
=π^2/12
其中：
∫(0到∞)x*e^(-nx) dx=-1/n*∫(0到∞)xde^(-nx) =-1/n*[x*e^(-nx)]|(0到∞)+1/n*∫(0到∞)e^(-nx)dx
=1/n^2
1/[1+e^(-x)]=Σ(-1)^n*e^(-nx) （n从0到﹢∞）
于是
∫(0到∞)xdx/(e^x+1)
=∫(0到∞)x*e^(-x)dx/[1+e^(-x)]
=∫(0到∞)x*e^(-x)*Σ(-1)^n*e^(-nx) （n从0到﹢∞）dx
=Σ∫(0到∞)x*e^(-x)*(-1)^n*e^(-nx) dx（n从0到﹢∞）
=Σ(-1)^(n+1)*∫(0到∞)x*e^(-nx) dx（n从1到﹢∞）
=Σ(-1)^(n+1)*1/n^2（n从1到﹢∞）
=π^2/12
其中：
∫(0到∞)x*e^(-nx) dx=-1/n*∫(0到∞)xde^(-nx) =-1/n*[x*e^(-nx)]|(0到∞)+1/n*∫(0到∞)e^(-nx)dx
=1/n^2
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