Question

利用级数求定积分的值∫(0到1)lnx*ln(1-x)dx

Answer 1

解：当x∈(0,1)时，有ln(1-x)=-Σ1/n*x^n（n从1到+∞）
故∫(0到1)lnx*ln(1-x)dx=∫(0到1)lnx*[-Σ1/n*x^n]dx（n从1到+∞）
=-Σ∫(0到1)lnx*(1/n*x^n)dx=-Σ∫(0到1)1/[n*(n+1)]*lnxd[x^(n+1)]（n从1到+∞）
=-Σ1/[n*(n+1)]*[lnx*x^(n+1)|(0,1)-∫(0到1)x^(n+1)*1/x*dx]（n从1到+∞）
=Σ1/[n*(n+1)^2]（n从1到+∞）
=Σ[(n+1)-n]/[n*(n+1)^2]（n从1到+∞）
=Σ1/[n*(n+1)]-1/(n+1)^2（n从1到+∞）
=Σ[1/n-1/(n+1)]-Σ1/(n+1)^2（n从1到+∞）
=1-(π^2/6-1)=2-π^2/6
希望可以帮到你