Question

已知如图,在△ABC中,AB=AC,角BAC=90度,AD=DC,AE垂直BD于点F,交BC于点E,求证:角ADB=角CDE(两种方法)

Answer 1

两种方法都需要添加辅助线构造全等三角形

如图

方法一： 作∠BAC的平分线AG交 BD 于G

而∠BAC  = 90° 所以∠BAG =∠GAD =45°

在直角三角形 ABF 中 ，∠1 + ∠BAF = 90°

在直角三角形 ABC 中，∠2 + ∠BAF = 90°

∴∠1 =∠2 ①

而AB = AC ②∠ACB=∠ABC = 45°所以∠BAG =∠ACB= 45°③

由①②③知 △ABG ≌△ACE （ASA）

∴ AG = CE ④

而AD = DC ⑤ ∠GAD = ∠ACE = 45°⑥

由④⑤⑥知 △AGD ≌△DEC (SAS)

∴∠ADB = ∠CDE 

 

方法二： 作直角ACH，即过C作AC的垂线交AE的延长线于H 

∴∠ACH = ∠BAC = 90°①

在直角三角形 ABF 中 ，∠1 + ∠BAF = 90°

在直角三角形 ABC 中，∠2 + ∠BAF = 90°

∴∠1 =∠2 ② 而AB = AC ③

由①②③知△ABD ≌△ACH （ASA）

∴AD =CH , ∠ADB =∠EHC 

而AD = DC ∴DC = CH ④

∵AB = AC  ∴∠ACB= 45°而∠ACH = 90°∴∠ECH = ∠ACB= 45°⑤

而 CE = CE ⑥

由④⑤⑥知 △CDE ≌△CHE (SAS)

∴∠EDC=∠EHC=∠ADB 

故∠ADB = ∠CDE

Answer 2

过点C作CG垂直AC交AE的延长线于G。
因为∠ADB+∠2=90，∠2+∠G=90，所以∠ADB=∠G①
AB=AC,②，∠BAD=∠ACG=90③，由①②③得△BAD全等于ACG,
所以AD=CG,因为AD=CD，所以CD=CG,③CE=CE④，因为∠ACB=45,∠ACG=90，所以∠GCE=45,所以∠ACB=∠GCE,⑤，三角形DCE全等于GCE，所以∠G=∠CDE,
又因为∠ADB=∠G,(△BAD全等于ACG),所以∠CDE=∠ADB

Answer 3

过点C作CG垂直AC交AE的延长线于G。
因为∠ADB+∠2=90，∠2+∠G=90，所以∠ADB=∠G①
AB=AC,②，∠BAD=∠ACG=90③，由①②③得△BAD全等于ACG,
所以AD=CG,因为AD=CD，所以CD=CG,③CE=CE④，因为∠ACB=45,∠ACG=90，所以∠GCE=45,所以∠ACB=∠GCE,⑤，三角形DCE全等于GCE，所以∠G=∠CDE,
又因为∠ADB=∠G所以角ADE=角CDE