Question

初三数学压轴题。求解。

如图，已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．
（1）求直线AD和抛物线的解析式
（2）连接BD,试判断BD与AD的位置关系，并说明理由
（3）连接BC交直线AD于点M,在直线AD上，是否存在这样的点N（不与M点重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标； 若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）E（2，6），OC*AB/6AB=2/3，OC=4，C（0，4），D（0，2），
AD过E（2，6）和D，AD：Y=KX+b，2K+b=6，b=2，K=2，所以，直线AD为：Y=2X+2
Y=0，X=-1，A（-1，0），y=ax²+bx+4，a-b+4=0，4a+2b+4=6，a=-1， b=3
抛物线的解析式：y=-x²+3x+4。
（2）BD垂直AD.
X=-3/（-2）=3/2，F（3/2，0），OF=3/2，AF=5/2，FB=5/2，OB=4，B（4，0），AB=5，
BD²=OD²+OB²=4+16=20，AD²=AO²+OD²=1+4=5， AB²=5²=25，AB²=BD²+AD²=20+5=25，
所以，角ADB=90度，BD垂直AD。
（3）存在。AD：Y=2X+2，设BC：Y=K*X+4，4K*+4=0，K*=-1，BC：Y=-X+4，
AD与BC交点M（2/3，10/3），AM=√（10/3）²+（1+2/3）²=5√5/3，AM/AB=√5/3，
使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似，角A为公共角，
有，AN/AB=√5/3，或，AN/AB=3/√5=3√5/5，因，N在AD上，所以，设N（a，2a+2）
AN=√（2a+2）²+（a+1）²=√5a²+10a+5，即，（√5a²+10a+5）/5=√5/3
（a²+2a+1）=25/9，（a+1）²=25/9，a=±5/3-1，a1=5/3-1=2/3，（N与M重合，舍去）
√5a²+10a+5）/5=3√5/5，（a+1）²=9，a2=4，Y2=2a+2=10，即N（4，10）

Answer 2

亲，今日已晚，明日解决