Question

高一函数周期性

已知f(x)是定义在R上的函数，且满足:f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=1997,则f(2012)=？
就是f(4)不知道怎么求额

Answer 1

f(x＋2)=[1＋f(x)]/[1－f(x)]，则：
f(x＋4)=[1＋f(x＋2)]/[1－f(x＋2)] -------------------(1)
而：1＋f(x＋2)=2/[1－f(x)]，1－f(x＋2)=[－2f(x)]/[1＋f(x)]
代入(1)后，得：
f(x＋4)=－1/[f(x)]
从而有：f(x＋8)=－1/[f(x＋4)]=f(x)
所以函数f(x)的周期是T=8
f(2012)=f(126×8＋4)=f(4)=－1/f(0)
？？
题目有问题吧？

Answer 2

f(x+2)=(1+f(x))/(1-f(x))
f(x+4)=(1+f(x+2))/(1-f(x+2))
=[1+(1+f(x))/(1-f(x))]/[1-(1+f(x))/(1-f(x))]
=[2/(1-f(x))]/[-2f(x)/(1-f(x))]
=-1/f(x)
f(x+8)=-1/f(x+4)=f(x)
周期是8
f(2012)=f(4+2008)=f(4+251*8)=f(4)
求f(4)就行了

Answer 3

由已知条件得：f(x+2)=1+f（x）/1-f(x)；
即f[（x+2）+2]=f(x+4)=-1/f(x) (将前面的f（x+2）带入化简计算可得)；
同理可证f[（x+4）+4]=f(x+8)=f(x);
求的周期为：8；
进而求得：f（2012）=f（4）