Question

高中数学必修四的题目。。。请求帮忙。。。要过程啊。。。

已知Cos(a-b/2)=-1/9，Sin(a/2-b)=2/3，0<a<兀，0<b<兀/2，求Cos(a+b)的值

Answer 1

解：因为(a-b/2)-(a/2-b)=a/2+b/2=（a+b）/2
因为Cos(a-b/2)=-1/9，所以Sin(a-b/2)=4√5/9（-/π4＜a-b/2＜π，因为Cos(a-b/2)＜0，所以Sin(a-b/2)=4√5/9＞0）

因为Sin(a/2-b)=2/3，所以Cos(a/2-b)=√5/3（-π/2＜a/2-b＜π/2，因为Sin(a/2-b)=2/3，所以Cos(a/2-b)=√5/3＞0）

由此可以往下解答：
Cos(a+b)=Cos（2(a+b)/2)=Cos((a+b）/2)^2-Sin((a+b）/2)^2

Cos((a+b）/2)=Cos((a-b/2)-(a/2-b))=Cos(a-b/2)Cos(a/2-b)+Sin(a/2-b)Sin(a-b/2)

=7√5/27
同理Sin((a+b）/2)=Sin((a-b/2)-(a/2-b))=Sin(a-b/2)Cos(a/2-b)-Cos(a-b/2)Sin(a/2-b)

=22/27
Cos(a+b)=（7√5/27）^2-(22/27)^2=-239/729

Answer 2

先用两角差公式求cos(a/2+b/2)=cos[(a-b/2)-(a/2-b)]
再用二倍角公式求Cos(a+b)=cos[2(a/2+b/2)]

Answer 3

∵0<a<π，0<b<π/2,
∴-π/4<a-b/2<π,-π/2<a/2-b<π/2.
∴sin[a-(b/2)]>0,cos[(a/2)-b]>0.
∵cos[a-(b/2)]=-1/9,sin[(a/2)-b]=2/3，
∴sin[a-(b/2)]=4√5/9,cos[(a/2)-b]=√5/3.
故cos(a+b)=2cos²[(a+b)/2]-1 =2cos²[(a-b/2）-(a/2-b)]-1
=2[cos(a-b/2)cos(a/2-b)+sin(a-b/2)sin(a/2-b)]²-1
=2[(-1/9)(√5/3)+(4√5/9)(2/3)]²-1
=-239/729.