Question

请教微积分高手，这道题怎么证明

Answer 1

我认为是这样证的：
取k1x1+k2x2+...knxn=x0
则 f(x1)>=f(x0)+f'(x0)(x1-x0)
f(x2)>=f(x0)+f'(x0)(x2-x0)
f(x3)>=f(x0)+f'(x0)(x3-x0)
......
f(xn)>=f(x0)+f'(x0)(xn-x0)
又ki>0 (1<=i<=n)
所以
k1f(x1)>=k1f(x0)+k1f'(x0)(x1-x0)
k2f(x2)>=k2f(x0)+k2f'(x0)(x2-x0)
k3f(x3)>=k3f(x0)+k3f'(x0)(x3-x0)
......
kn f(xn)>=knf(x0)+knf'(x0)(xn-x0)
两端相加 得 k1f(x1)+k2f(x2)+...+kn f(xn)>=(k1+k2+...+kn)f(x0)+f'(x0)(k1x1+k2x2+...knxn-(k1+k2+...+kn)x0）
又k1+k2+...+kn=1
所以：k1f(x1)+k2f(x2)+...+kn f(xn)>=f(x0)+f'(x0)(k1x1+k2x2+...knxn-x0)
因为x0=k1x1+k2x2+...knxn
所以 f'(x0)(k1x1+k2x2+...knxn-x0)=0
所以：k1f(x1)+k2f(x2)+...+kn f(xn)>=f(x0)=f(k1x1+k2x2+...knxn)
即 f(k1x1+k2x2+...knxn)<=k1f(x1)+k2f(x2)+...+kn f(xn)
证毕！！！

Answer 2

当n=1时 显然 当n=2时因为f''>0 所以f为下凸函数 结论成立
设 当n=m时 结论成立 即
f(k1x1+k2x2...+kmxm)<=k1f(x1)+k2f(x2)...+kmf(xm)成立（x1<=x2...）
当n=m+1时 同样x1<=x2...<=xm<=x(m+1)
令(i=1,m+1)∑kixi=(i=1,m-1)∑kixi+(km+k(m+1))x0 （k(m+1)≠0）
解得x0=[km/(km+k(m+1))]xm+[k(m+1)/(km+k(m+1))x(m+1) 并且xm<=x0<=x(m+1) 所以x0∈[a,b]
由假设 f(k1x1+k2x2...+k(m-1)x(m-1)+(km+k(m+1)x0))<=k1f(x1)+k2f(x2）...k(m-1)f(x(m-1)+(km+k(m+1))f(x0) 将x0=[km/(km+k(m+1))]xm+[k(m+1)/(km+k(m+1))x(m+1) 带入得
(km+k(m+1))f(x0) =(km+k(m+1))f{[km/(km+k(m+1))]xm+[k(m+1)/(km+k(m+1))x(m+1)}<=kmf(xm)+k(m+1)f(m+1)

追问

老师讲的是用那个f‘’(x)>0 得到f(x)>=f(x0)+f'(x0)(x-x0)证明
我想知道用那个怎么证明。。。