Question

已知函数f(x)= -x的平方+2x证明f(x)在[1,正无穷）上是减函数 求完整解题过程

Answer 1

x1>x2>1
f(x1)-f(x2)=-x1²+2x1+x2²-2x2
=(x2-x1)(x2+x1)-2(x2-x1)
=(x2-x1)(x2+x1-2)
x1>x2>1

所以x2-x1<0
x1+x2-2>0
所以f(x1)-f(x2)<0
即x1>x2>1时f(x1)<f(x2)
所以是减函数

Answer 2

解：设X1>X2且属于[0,+00]
所以有f(x1)-f(x2)=-x1（平方）+2x1-[-x2(平方）+2x2]
=-X1（平方）+2x1+x2（平方）-2x2
=x2（平方）-x1（平方）-2x2+2x1
=(x2-x1)(x2+x1)-2(x2-x1)
因为有x1>x2 所以有x2-x1<0 所以有 （x2-x1)(x2+x1)<0
所以有(x2-x1)(x2+x1)-2(x2-x1)<0
所以有f(x1)-f(x2)<0 则f(x1)<f(x2) 所以得 函数为减函数

Answer 3

因为f(x)=-x~2+2x=-(x-1)~2+1，所以函数f(x)的对称轴是x=1,又f(x)开口向下，故f(x)在[1,+无穷)单调减少。（其中~表示平方）