Question

抽象函数习题单调性问题

已知函数f(x)对于任意x，y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，f(1)=-2/3，已知函数f(x)在R上是减函数，求函数f(X)在[-3,3]上的最大值和最小值。

这是书上答案：f(x)max=f(-3)=-f(3)=-3f(1)=2
f(x)min=f(3)=f(3)=3f(1)=-2

f(-3)=-f(3)=-3f(1)这种变形可以吗？为什么问人都说不行？

另外我是预习高一，学得有些困难，几乎每题都要看答案，有没有除题海外更好的方法？（现在用的是题海）

Answer 1

这是对的，令x=0，y=0，f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知，f(0)=0，f(-x)+f(x)=f(0)=0，可知f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x),因为函数是减函数，所以最大值在x=-3处，最小值在x=3处，又f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)，f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=(-2),f(x)max=f(-3)=-f(3)=-3f(1)=2f(x)min=f(3)=f(3)=3f(1)=-2.另外学习方法，现在最主要的是打好基础，不宜追求过难的题目。题海战术可以作为检验学习成果的好方法。在进行预习时，要重视基础，以书本为主。用题目检验自己时，要多想多独立思考，不要轻易看答案，再加以错题集，学习小结会更好。希望能对你有所帮助。

Answer 2

变形可以。因为容易得到函数是奇函数，因此对正整数m>0，
f(m)＝mf(1)，那么对负整数m<0，有
f(m)＝－f(－m)＝－(－mf(1))＝mf(1)，
即f(m)＝mf(1)对所有的整数成立。
实际上，你还可以证明上面的表达式对所有的有理数成立。
你可以试一下。

Answer 3

小同学，你现在是预习高一知识，应注重基本概念和知识的理解上，不要一上来钻进题海，预习的方法先就某一章节通读，然后进行知识归纳整理，其目的就是帮你增加对新知识的理解，找出懂与不懂的知识点，做为你日后学习的重点为。

已知函数f(x)对于任意x，y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，f(1)=-2/3，已知函数f(x)在R上是减函数，求函数f(X)在[-3,3]上的最大值和最小值。

解析：∵函数f(x)对于任意x，y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y) （这是正比例函数典型特点）
∵正比例函数为奇函数，∴它又满足f(-x)=-f(x)
∵函数f(x)在R上是减函数，∴当x1<x2时，f(x1)>f(x2)
∵区间[-3,3],∴函数f(x)的最大值为f(-3)，最小值为f(3)
∵f(1)=-2/3, F(3)=f(1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)
∴f(x)max=f(-3)=-f(3)=-3f(1)=2
f(x)min=f(3)=f(3)=3f(1)=-2

Answer 4

f(x)+f(y)=f(x+y)

x=y=0代入上式 f（0）=0
令y=-x带入得f（x）+f(-x)=0f（x）为奇函数
所以有f（-3）=-f（3）=-3f（1）
这个答案跳步太多
我建议预习看书上的例题，就做课后的习题就行了 也可买一本讲解详细的参考书

Answer 5

这种变法可以，因为令x=0,y=0;则f(0)+f(0)=f(0+0)；即f(0)=0; 又令y=-x;则f(x)+f(-x)=f(0)=0;所以
移项-f(x)=f(-x)；所以f(-3)=-f(3);又f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1);所以-f(3)=-3f(1)=2