Question

已知f(x)=x^3+bx^2+x+3在区间(0,1]上单调递增，求b的范围

Answer 1

f(x)=x^3+bx^2+x+3在区间(0,1]上单调递增
说明f(0)<f(1),解得b>1
又
在区间(0,1]上f'(x)=3x^2+2bx+1>0
对称轴x=-2b/3<-2/3
因此，只需要
f'(0)>0即可
故得b>1

Answer 2

f(x)=x^3+bx^2+x+3
f'(x)=3x²+2bx+1>0

要保证在区间(0,1]上单调递增，那么导数肯定要在(0,1]大于等于0，
1，对称抽横坐标x=-2b/(2×3)=-b/3 f'(0)=1>0,所以-b/3<0时，即b>0时，易得导数肯定要在(0,1]大于等于0
2，0=<-b/3<=1时，那么二次函数，开口向上，保证最小值大于等于0即可，所以求在对称轴时候的y值，可得b平方要小于3，所以b大于等于-根号3小于0
3，1<-b/3时候，f'(1)=4+2b肯定小于0 不成立，
所以b大于等于负根号3

Answer 3

对原函数求导
f'（x）=3x²+2bx+1 任意x∈（0，1）＞=0
抛物线开口向上
分类讨论
若-b/3>=1，则f'（1）为其最小值，要求4+2b>=0
无解
若0=<-<1，则f‘（-b/3）为其最小值，要求1-b²/3>=0
解得b∈[-根3,0]
若-b/3<0,则f'（0）为其最小值，要求1>=0
解得b∈（0，﹢无穷）
综上，b∈[-根3，﹢无穷）

Answer 4

df(x)/dx=3x^2+2bx+1
在(0,1]递增，所以-2b/(2*3)小于等于0
-b/3小于等于0
b大于等于0

Answer 5

f(x)=x^3+bx^2+x+3

f'(x)=3x²+2bx+1>0
x∈（0,1】
-2b/(2×3)<=0
b>=0

追问

-2b/(2×3)<=0怎么来的？
b不用讨论么

追答

不用讨论了。

追问

为什么呢？

追答

那是二次函数的对称轴。
不用讨论了。