Question

如图，点D在反比例函数 y= k x （k＞0）上，点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，O），△ODC是以CO

如图，点D在反比例函数 y= k x （k＞0）上，点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，O），△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形． （1）求点D的坐标；（2）求反比例函数的解析式；（3）点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点，BA、BE分别垂直x轴和y轴，垂足分别为点A和点E，连结OB，将四边形OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F．求直线BA′的解析式．

Answer 1

（1）过D作DG⊥x轴，交x轴于点G， ∵△ODC为等腰直角三角形， ∴G为OC的中点，即DG为斜边上的中线， ∴DG=OG= 1 2 OC=2， ∴D（2，2）， （2）代入反比例解析式得：2= k 2 ，即k=4， 则反比例解析式为y= 4 x ； （3）∵点B是y= 4 x 上一点，B的横坐标为1， ∴y= 4 1 =4， ∴B（1，4）， 由折叠可知：△BOA′≌△BOA， ∵OA=1，AB=4， ∴BE=A′O=1，OE=BA′=4， 又∵∠OAB=90°，∠A′FO=∠BFE， ∴∠BA′O=∠OEB=90°， ∴△OA′F≌△BFE（AAS）， ∴A′F=EF， ∵OE=EF+OF=4， ∴A′F+OF=4， 在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′ 2 +A′F 2 =OF 2 ， 设OF=x，则A′F=4-x， ∴1 2 +（4-x） 2 =x 2 ， ∴x= 17 8 ， ∴OF= 17 8 ，即F（0， 17 8 ）， 设直线BA′解析式为y=kx+b， 将B（1，4）与F（0， 17 8 ）坐标代入， 得： k+b=4 b= 17 8 ， 解得： k= 15 8 b= 17 8 ， 则线BA′解析式为 y= 15 8 x+ 17 8 ．