Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形。已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2 ，∠PAB=60°。 （

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形。已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2 ，∠PAB=60°。 （Ⅰ）证明：AD⊥平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的余弦值；（Ⅲ）求二面角P-BD-A的余弦值。

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Answer 1

（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设 ，可得 ， 于是AD⊥PA， 在矩形ABCD中，AD⊥AB， 又PA∩AB=A， 所以，AD⊥平面PAB。 （Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角， 在△PAB中，由余弦定理得 ， 由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB 平面PAB， 所以AD⊥PB，因而BC⊥PB， 于是△PBC是直角三角形， 故 ， 所以，异面直线PC与AD所成的角的余弦值为 。
（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE， 因为AD⊥平面PAB，PH 平面PAB， 所以AD⊥PH， 又AD∩AB=A， 因而PH⊥平面ABCD， 故HE为PE在平面ABCD内的射影， 由三垂线定理可知， BD⊥PE， 从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角。 由题设，可得 于是在Rt△PHE中， ，所以二面角P-BD-A的余弦值为 。