Question

如图所示，粗糙的斜面AB下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，整个装置竖直固定放置，C是最低点，圆心角∠BOC

如图所示，粗糙的斜面AB下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，整个装置竖直固定放置，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R=0.5m，斜面长L=2m，现有一个质量m=0.1kg的小物体P从斜面AB上端A点无初速下滑，物体P与斜面AB之间的动摩擦因数为μ=0.25．（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：（1）物体P第一次通过B点时的速度大小为多大？（2）物体P第一次离开D点后在空中做竖直上抛运动，不计空气阻力，则最高点E和D点之间的高度差为多大？（3）物体P从空中又返回到圆轨道和斜面，多次反复，在整个运动过程中，物体P对C点处轨道的最小压力为多大？

Answer 1

（1）物体P从A下滑经B到C过程中根据动能定理：

1

2

mυ02?0＝mg(Lsin37°+R?Rcos37°)?μmgLcos37°
得：υ0＝

2g(Lsin37°+R?Rcos37°)?2μgLcos37°

=

18

m/s＝4.24m/s
经C点时有：NC ?mg＝m

υ 2 0

R

Nc＝mg+m

υ 2 c

R

＝4.6N
根据牛顿第三定律，P对C点的压力N′_c=N_c=4.6N
（2））从C到E机械能守恒有：

1

2

m

υ

2 c

＝mg(R+hED)
E与D间高度差为：hED＝?

υ 2 c

2g

?R＝0.4m
（3）物体P最后在B与其等高的圆弧轨道上来回运动时，经C点压力最小，由B到C根据机械能守恒有：
mgR(1?cos37°)＝

1

2

mυ

′

2 c

得：υc＝

2gR(1?cos37°)

＝

2

m/s
Ncz＝mg+m

υ ′ 2 c

R

＝0.1×10+0.1×

2

0.5

＝1.4N
根据牛顿第三定律压力为：N'c₂=Nc₂=1.4N
答：（1）速度大小为4.24m/s，压力为4.6N．
（2）D到 E的高度为0.4m．
（3）最小压力为1.4N．