Question

对于平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“折线距离”：d（A，B）=|x

对于平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“折线距离”：d（A，B）=|x2-x1|+|y2-y1|．则下列命题正确的是______．（写出所有正确命题的序号）①若A（-1，3），B（1，0），则d（A，B）=5；②若点C在线段AB上，则d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）；③在△ABC中，一定有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）；④若A为定点，B为动点，且满足d（A，B）=1，则B点的轨迹是一个圆；⑤若A为坐标原点，B在直线2x+y-25=0上，则d（A，B）最小值为5．

Answer 1

①∵A（-1，3），B（1，0），则d（A，B）=|1-（-1）|+|0-3|=2+5=5，故①正确；
②设直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设C点坐标为（x₀，y₀），
∵点C在线段AB上，
∴x₀在x₁、x₂之间，y₀在y₁、y₂之间，不妨令x₁＜x₀＜x₂，y₁＜y₀＜y₂，
则d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|
=x₀-x₁+y₀-y₁+x₂-x₀+y₂-y₀
=x₂-x₁+y₂-y₁
=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
=d（A，B）成立，故②正确；
③在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|≥|（x₀-x₁）+（x₂-x₀）|+|（y₀-y₁）+（y₂-y₀）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|，
故③不一定成立；
∴命题①成立，
④不妨令点A为坐标原点，B（x，y），则d（A，B）=|x|+|y|=1，B点的轨迹是一个正方形，而不是圆，故④错误；
⑤如图，直线与两轴的交点分别为M（0，2

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），N（

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，0），设B（x，y），为直线上任意一点，作BQ⊥x轴于Q，

则|BQ|=2|QN|，
∴d（A，B）=|AQ|+|QB|≥|AQ|+|QN|≥|AN|，即当B与N重合时，d_min=|AN|=

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，故⑤正确；
综上所述，正确的是①②⑤．
故答案为：①②⑤．