Question

设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 cosB= 4 5 ，b=2．（Ⅰ）当 a= 5 3

设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 cosB= 4 5 ，b=2．（Ⅰ）当 a= 5 3 时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

∵ cosB= 4 5 ∴sinB= 3 5  且B为锐角 （I）∵b=2，a= 5 3 由正弦定理可得， b sinB = a sinA ∴ sinA= asinB b = 5 3 × 3 5 2 = 1 2 ∵a＜b∴A＜B ∴A=30° （II）由 cosB= 4 5 ，b=2 利用余弦定理可得，b 2 =a 2 +c 2 -2accosB ∴ 4+ 8 5 ac=a 2 + c 2 ≥2ac 从而有ac≤10 ∴ S △ABC = 1 2 acsinB= 3 10 ac≤3 ∴△ABC面积的最大值为3