已知函数f(x)=aex+x2-ax,a为实常数.(1)若f(x)在x=0处的切线,与x=1处的切线平行,求a的值;(2)
已知函数f(x)=aex+x2-ax,a为实常数.(1)若f(x)在x=0处的切线,与x=1处的切线平行,求a的值;(2)是否存在实数a,使得对于任意不相等的实数x1,x...
已知函数f(x)=aex+x2-ax,a为实常数.(1)若f(x)在x=0处的切线,与x=1处的切线平行,求a的值;(2)是否存在实数a,使得对于任意不相等的实数x1,x2,都有f(x1)≠f(x2),若存在,求出所有符合条件的a,若不存在,说明理由.
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(1)因为f′(x)=aex+2x-a,(1分)
所以f′(0)=0,(2分)
因为f(x)在x=0处的切线与x=1处的切线平行,所以f′(1)=ae+2-a=0,解得a=
. (3分)
当a=
时,f(0)=a=
,f(1)=ae+1-a=(e-1)a+1=-1,f(0)≠f(1),即两切线不重合,故a=
. (5分)
(2)设g(x)=f′(x)=aex+2x-a,则g′(x)=aex+2,
ⅰ. 当a≥0时,g′(x)>0,故f′(x)在R上单调递增,
而f′(0)=0,故x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
故必存在实数x1<0<x2,使得f(x1)=f(x2); (7分)
ⅱ. 当a<0时,g′(x)在R上单调递减,令g′(x0)=0,解得x0=ln(?
),
①若x0<0,即a<-2时,g′(x)<0在(x0,+∞)上恒成立,故f′(x)在(x0,+∞)上单调递减,而f′(0)=0,所以x∈(x0,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
故必存在实数x1<0<x2,使得f(x1)=f(x2); (9分)
②若x0>0,即-2<a<0时,g′(x)>0在(-∞,x0)上恒成立,
f′(x)在(-∞,x0)上单调递增,而f′(0)=0,所以x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
x∈(0,x0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增
故必存在实数x1<0<x2,使得f(x1)=f(x2); (11分)
③若x0=0,即a=-2时,x0=0,故当x∈(-∞,0)时,g′(x)>0,f′(x)递增,所以f′(x)<f′(0)=0,
当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,,f′(x)递减,所以f′(x)<f′(0)=0,
所以当x∈R时,f′(x)≤0恒成立,当且仅当x=0时,f′(x)=0
故f(x)在R上单调递减,所以对于任意不相等的实数x1、x2,都有f(x1)≠f(x2),
综上ⅰ、ⅱ可知,存在这样的实数a,当且仅当a=-2时对于任意不相等的实数x1、x2,都有f(x1)≠f(x2). (13分)
所以f′(0)=0,(2分)
因为f(x)在x=0处的切线与x=1处的切线平行,所以f′(1)=ae+2-a=0,解得a=
2 |
1?e |
当a=
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1?e |
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1?e |
(2)设g(x)=f′(x)=aex+2x-a,则g′(x)=aex+2,
ⅰ. 当a≥0时,g′(x)>0,故f′(x)在R上单调递增,
而f′(0)=0,故x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
故必存在实数x1<0<x2,使得f(x1)=f(x2); (7分)
ⅱ. 当a<0时,g′(x)在R上单调递减,令g′(x0)=0,解得x0=ln(?
2 |
a |
①若x0<0,即a<-2时,g′(x)<0在(x0,+∞)上恒成立,故f′(x)在(x0,+∞)上单调递减,而f′(0)=0,所以x∈(x0,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
故必存在实数x1<0<x2,使得f(x1)=f(x2); (9分)
②若x0>0,即-2<a<0时,g′(x)>0在(-∞,x0)上恒成立,
f′(x)在(-∞,x0)上单调递增,而f′(0)=0,所以x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
x∈(0,x0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增
故必存在实数x1<0<x2,使得f(x1)=f(x2); (11分)
③若x0=0,即a=-2时,x0=0,故当x∈(-∞,0)时,g′(x)>0,f′(x)递增,所以f′(x)<f′(0)=0,
当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,,f′(x)递减,所以f′(x)<f′(0)=0,
所以当x∈R时,f′(x)≤0恒成立,当且仅当x=0时,f′(x)=0
故f(x)在R上单调递减,所以对于任意不相等的实数x1、x2,都有f(x1)≠f(x2),
综上ⅰ、ⅱ可知,存在这样的实数a,当且仅当a=-2时对于任意不相等的实数x1、x2,都有f(x1)≠f(x2). (13分)
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