设t＞0，已知函数f （x）=x2（x-t）的图象与x轴交于A、B两点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数
设t＞0，已知函数f（x）=x2（x-t）的图象与x轴交于A、B两点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率为k，当x...
设t＞0，已知函数f （x）=x2（x-t）的图象与x轴交于A、B两点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率为k，当x0∈（0，1]时，k≥-12恒成立，求t的最大值；（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f（x）的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．
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（1）∵函数f （x）=x2（x-t）=x3-tx2，∴f′（x）=3x2-2tx=x（3x-2t）
令x（3x-2t）＜0，解得0＜x＜
t，（t＞0）；令x（3x-2t）＞0，解得x＜0，或x＞
，
故函数f （x）的单调递减区间为（0，
）；单调递增区间为（-∞，0）和（
，+∞）．
（2）由题意及（1）知，k=f′（x0）=3x02-2tx0，x0∈（0，1]，k≥-
恒成立
即当x0∈（0，1]时，3x02-2tx0≥-
恒成立，即t≤
，x0∈（0，1]
即函数g（x）=
，x∈（0，1]只需求出其最小值即可，
g（x）=
=
+
≥2
=
，当且仅当
＝
，
即x=
令x（3x-2t）＜0，解得0＜x＜
| 2 |
| 3 |
| 2t |
| 3 |
故函数f （x）的单调递减区间为（0，
| 2t |
| 3 |
| 2t |
| 3 |
（2）由题意及（1）知，k=f′（x0）=3x02-2tx0，x0∈（0，1]，k≥-
| 1 |
| 2 |
即当x0∈（0，1]时，3x02-2tx0≥-
| 1 |
| 2 |
3x02+
| ||
| 2x0 |
即函数g（x）=
3x2+
| ||
| 2x |
g（x）=
3x2+
| ||
| 2x |
| 3x |
| 2 |
| 1 |
| 4x |
|
| ||
| 2 |
| 3x |
| 2 |
| 1 |
| 4x |
即x=
|
