Question

（2010?普洱）如图，已知点A（-3，0）和B（1，0），直线y=kx-4经过点A并且与y轴交于点C．（1）求点C的坐

（2010?普洱）如图，已知点A（-3，0）和B（1，0），直线y=kx-4经过点A并且与y轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）半径为1个单位长度的动圆⊙P的圆心P始终在抛物线的对称轴上．当点P的纵坐标为5时，将⊙P以每秒1个单位长度的速度在抛物线的对称轴上移动．那么，经过几秒，⊙P与直线AC开始有公共点？经过几秒后，⊙P与直线AC不再有公共点？

Answer 1

（1）令x=0，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）．

（2）设过A（-3，0），B（1，0），C（0，-4）的函数解析式为：y=a（x+3）（x-1），
则有：a（0+3）（0-1）=-4，
即a=

4

3

，
∴抛物线的解析式为：y=

4

3

（x+3）（x-1）=

4

3

x²+

8

3

x-4，
对称轴为x=-

?3+1

2

，即x=-1．

（3）在Rt△MOC中，OA=3，OC=4，
∴CA=

OA2+OC2

=

32+42

=5，
当⊙P向上移动时，永远不会与直线AC由公共点；
当⊙P向下移动时，设⊙P与直线AC有一个公共点的位置如图中的⊙P₁和⊙P₂；
⊙P₁与直线AC相切于点D，⊙P₂与直线AC相切于点E，连接P₁D；
则∠NDP₁=90°，又∵MN∥OC，∴∠DNP₁=∠ACO；
又∵∠NDP₁=∠COA=90°，∴△NDP₁∽△COA，
∴

NP1

CA

＝

P1D

OA

，

NP1

5

=

1

3

，NP₁=

5

3

；
同理NP₂=

5

3

，把A（-3，0）代入y=kx-4中，-3k-4=0得k=-

4

3

；
∴直线y=-

4

3

x-4，把x=-1代入上式，得y=-

8

3

；
∴MN=|-

8

3

|=

8

3

，
∴MP₁=MN-NP₁=

8

3

-