Question

选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）（Ⅰ）若a=2时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若不等

选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）（Ⅰ）若a=2时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若不等式f（x）≤4的对一切x∈[a，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0），若a=2时，则不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x-2|≤4． 而由绝对值的意义可得|x+1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-2和2对应点的距离之和，而- 3 2 和 5 2 应点到-2和2对应点的距离之和正好等于4， 故不等式f（x）≤4的解集为[- 3 2 ， 5 2 ]． （Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x-a≤4，解得 a≥2x-3．由于2x-3的最大值为2×2-3=1，∴a≥1， 故 1≤a≤2，实数a的取值范围为[1，2]．