Question

已知函数f(x)=4x 3 +3tx 2 -6tx+t-1，x∈R，其中t∈R，（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切

已知函数f(x)=4x 3 +3tx 2 -6tx+t-1，x∈R，其中t∈R，（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；（Ⅱ）当t≠0时，求f(x)的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的t∈(0，+∞)，f(x)在区间(0，1)内均存在零点．

Answer 1

解：（Ⅰ）解：当t=1时， f′(0)=-6， 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=-6x。 （Ⅱ）解： ， 令f′(x)=0，解得x=-t或 ， 因为t≠0，以下分两种情况讨论： （1）若t＜0，则 ，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以，f(x)的单调递增区间是 ；f(x)的单调递减区间是 。 （2）若t＞0，则 ，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以，f(x)的单调递增区间是 ；f(x)的单调递减区间是 ； （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当t＞0时，f(x)在 内的单调递减，在 内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当 即t≥2时，f(x)在（0，1）内单调递减， ， 所以对任意t∈[2，+∞)，f(x)在区间（0，1）内均存在零点； （2）当 即0＜t＜2时，f(x)在 内单调递减，在 内单调递增， 若 ， ， 所以f(x)在 内存在零点； 若 ， f(0)=t-1＞0， 所以f(x)在 内存在零点； 所以，对任意t∈(0，2)，f(x)在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意t∈(0，+∞)，f(x)在区间（0，1）内均存在零点。