Question

已知函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x（1）若x=3是该函数的一个极值点，求函数f（x）的单调区间（2）若f（x

已知函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x（1）若x=3是该函数的一个极值点，求函数f（x）的单调区间（2）若f（x）在[1，4]上是单调减函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′(x)＝

a

1+x

+2x?10，
∴樱纯f′(3)＝

a

4

+6?10＝0，因此a=16
∴f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，其定义域为（-1，+∞），
f′(x)＝

16

1+x

+2x?10＝

2(x2?4x+3)

1+x

＝

2(x?1)?(x?3)

1+x

，
又∵f（x）定义域为（-1，+∞），
当f'（x）＞0，即-1＜x＜1，或x＞3时，函数f（x）单调递增，
当f'（x）＜0，即1＜x＜3时，函数f（x）单调递减，
∴f（x）的单调递增区搜消间为（-1，1），（3，+∞），单调递减区间为（1，3）．
（2）∵f（x）在[1，4]上是单调减函数
∴f′(x)＝

a

1+x

+2x?10＝

2x2?8x+a?10

1+x

≤0在[1，4]上恒成立，
∴2x²-8x+a-10≤0在[1，4]上恒成立，
∴a≤[-（2x²-8x-10）]_min，
∵在[1，世颂知4]上，10≤-（2x²-8x-10）≤18
∴a≤10．