Question

已知数列{an}中，a1=1，a2=2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N+，Sn+1+Sn-1=2（Sn+1）都

已知数列{an}中，a1=1，a2=2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N+，Sn+1+Sn-1=2（Sn+1）都成立，则Sn=______．

Answer 1

由S_n+1+S_n-1=2（S_n+1），得S_n+1-S_n=S_n-S_n-1+2，
∴{S_n+1-S_n}是首项为S₂-S₁=2，公差为2的等差数列，
∴S_n+1-S_n=2+（n-1）×2=2n，
则n≥2时，S₂-S₁=2，S₃-S₂=4，…，S_n-S_n-1=2（n-1），
累加，得S_n-S₁=2+4+…+2（n-1）=

(n?1)2n

2

＝n2?n，
∴sn＝n2?n+1，又s₁=1适合上式，
故sn＝n2?n+1，
故答案为：n²-n+1．