Question

已知函数f（x）=?3x+a3x+1+b．（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域

已知函数f（x）=?3x+a3x+1+b．（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．

Answer 1

（1）由题意，

1?3x

3x+1+1

≥3^x，化简得3?（3^x）²+2×3^x-1≤0…（2分）
解得-1≤3^x≤

1

3

…（4分）
所以x≤-1…（（6分），如果是其它答案得5分）
（2）已知定义域为R，所以f（0）=

?1+a

3+b

=0?a=1，…（7分）
又f（1）+f（-1）=0?b=3，…（8分）
所以f（x）=

1?3x

3x+1+3

；…（9分）
f（x）=

1?3x

3x+1+3

=

1

3

（

1?3x

3x+1

）=

1

3

（-1+

2

3x+1

）
对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
可知f（x₁）-f（x₂）=

1

3

（

2

3x1+1

-

2

3x2+1

）=-

2

3

（

3x1?3x2

(3x1+1)(3x2+1)

）…（12分）
因为x₁＜x₂，所以3x2-3x1＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）在R上递减．…（14分）