Question

已知a+b=1，ab=-1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过

已知a+b=1，ab=-1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=-1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）-ab（a+b）=1×s2-（-1）=s2+1=______你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出sn-2，sn-1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．

Answer 1

（1）S₂=a²+b²=（a+b）²-2ab=3；

（2）∵（a²+b²）（a+b）=a³+ab²+a²b+b³=a³+b³+ab（a+b），
∴3×1=a³+b³-1，
∴a³+b³=4，即S₃=4；
∵S₄=（a²+b²）²-2（ab）²=7，
∴S₄=7；

（3）∵S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₂+S₃=S₄，
∴S_n-2+S_n-1=S_n；

（3）∵S_n-2+S_n-1=S_n，S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₅=4+7=11，
∴S₆=7+11=18．