Question

（2012?武汉四月调考）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD．OB与EF相交于点M，OC与FG相

（2012?武汉四月调考）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD．OB与EF相交于点M，OC与FG相交于点N，连接MN．（1）求证：OB⊥OC；（2）若OB=6，OC=8，求MN的长．

Answer 1

（1）证明：∵BA，BC为⊙O的切线，
∴BO平分∠ABC，
同理CO平分∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BOC=90°，
即OB⊥OC；

（2）连接OF，
∵BA，BC为⊙O的切线，
∴BE=BF，BO平分∠ABC，
∴BM⊥EF，
即∠OMF=90°，
同理：∠ONF=90°，
∴四边形ONFM是矩形，
∴MN=OF，
在Rt△OBC中，OB=6，OC=8，BC²=OB²+OC²，
∴BC=10，
∵BC切圆于点F，
∴OF⊥BC，
∴△OFC∽△BOC，
∴

OF

BO

=

OC

BC

，
∴OF=4.8，
∴MN=4.8．