Question

已知一元二次不等式（a-2）x2+2b?1x+1＞0的解集为R，若a≤4，则a?2ba+b的取值范围是（-27，25]（-27，25]

已知一元二次不等式（a-2）x2+2b?1x+1＞0的解集为R，若a≤4，则a?2ba+b的取值范围是（-27，25]（-27，25]．

Answer 1

若一元二次不等式（a-2）x²+2

b?1

x+1＞0的解集为R，
则

a?2＞0 △＝4(b?1)?4(a?2)＜0

即

a＞2 a?b＞1

又由a≤4，b≥1可得满足条件的平面区域如下图所示：

令k=

b

a

，则k表示平面上一动点（a，b）与原点连线的斜率，
由图可知k∈[

1

4

，

3

4

）
∵

a?2b

a+b

=

1?2k

1+k

∵f（k）=

1?2k

1+k

在[

1

4

，

3

4

）为减函数，且f（

1

4

）=

2

5

，f（

3

4

）=-

2

7

故

a?2b

a+b

的取值范围是：（-

2

7

，

2

5

]
故答案为：（-

2

7

，

2

5

]