Question

函数 y=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜ π 2 ) 在同一个周期内，当 x= π 4 时y取最大值1

函数 y=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜ π 2 ) 在同一个周期内，当 x= π 4 时y取最大值1，当 x= 7π 12 时，y取最小值-1．（1）求函数的解析式y=f（x）．（2）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

（1）∵ 2π ω =2×( 7π 12 - π 4 ) ， ∴ω=3， 又因 sin( 3 4 π+φ)=1 ， ∴ 3π 4 +φ=2kπ+ π 2 ，又 |φ|＜ π 2 ，得 φ=- π 4 ∴函数 f(x)=sin(3x- π 4 ) ； （2）y=sinx的图象向右平移 π 4 个单位得 y=sin(x- π 4 ) 的图象， 再由 y=sin(x- π 4 ) 图象上所有点的横坐标变为原来的 1 3 ．纵坐标不变，得到 y=sin(3x- π 4 ) 的图象， （3）∵ f(x)=sin(3x- π 4 ) 的周期为 2 3 π ， ∴ y=sin(3x- π 4 ) 在[0，2π]内恰有3个周期， ∴ sin(3x- π 4 )=a(0＜a＜1) 在[0，2π]内有6个实根且 x 1 + x 2 = π 2 同理， x 3 + x 4 = 11 6 π， x 5 + x 6 = 19 6 π ， 故所有实数之和为 π 2 + 11π 6 + 19π 6 = 11π 2 ．