Question

求二重积分∫∫D（x-y）dxdy，其中D={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤2，y≥x}

求二重积分∫∫D（x-y）dxdy，其中D={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤2，y≥x}．

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

采用极坐标变换：令x=rcosθ，y=rsinθ（0≤θ＜2π）
由（x-1）²+（y-1）²≤2得r≤2（sinθ+cosθ），
由x≤y得，

π

4

≤θ≤

3π

4

∫∫

D

(x?y)dxdy＝

∫

3π 4 π 4

dθ

∫	2(sinθ+cosθ) 0

(rcosθ?rsinθ)rdr
=

∫

3π 4 π 4

[

1

3

(cosθ?sinθ)?r3

|	2(sinθ+cosθ) 0

]dθ
=

∫

3π 4 π 4

8

3

(cosθ?sinθ)(sinθ+cosθ)3dθ

=

8

3

∫

3π 4 π 4

(sinθ+cosθ)3d(sinθ+cosθ)
=

8

3

×

1

4

(sinθ+cosθ)4

|

3π 4 π 4

=?

8

3