Question

已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y-2=0．（1）求f（

已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y-2=0．（1）求f（x）的解析式；（2）当x＞1时，f（x）+kx＜0恒成立，求实数k的取值范围；（3）设n是正整数，用n!表示前n个正整数的积，即n!=1?2?3…n．求证：n!＜e n(n+1)4．

Answer 1

解答：（1）解：∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=

a

x

+b．
∵直线x-2y-2=0的斜率为

1

2

，且曲线y=f（x）过点（1，-

1

2

），
∴

f(1)＝? 1 2 f′(1)＝ 1 2

，即

b＝? 1 2 a+b＝ 1 2

，解得a=1，b=-

1

2

．
所以 f（x）=lnx-

x

2

．
（2）解：由（1）得当x＞1时，f（x）+

k

x

＜0恒成立即 lnx-

x

2

+

k

x

＜0，
等价于k＜

x2

2

?xlnx．
令g（x）=

x2

2

?xlnx，则g′（x）=x-（lnx+1）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=1-

1

x

=

x?1

x

．
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0．
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=

1

2

．
因此，当x＞1时，k＜

x2

2

?xlnx．恒成立，则k≤

1

2

．
∴k的取值范围是（-∞，

1

2

]．
（3）证明：由（2）知，当x＞1时，f（x）＜0（k=0），
又 x=1时f（x）＜0也成立，
所以当x≥1时，lnx＜

x

2

，于是
ln1＜

1

2

，ln2＜

2

2

，ln3＜

3

2

，…，lnn＜

n

2

，
上述各式相加得，ln（1×2×3×…×n）＜

1+2+3+…+n

2

，
即lnn!＜

n(n+1)

4

，∴n!＜e

n(n+1)

4

．

Answer 2

求函数解析式的方法一般就是通过建立方程把其中的参数解出来。
本题中，要确定的是a和b。
函数y=f(x)在点（1，f(1))处的切线方程已经给出，那就可以表示出过该点的切线方程的斜率，这个斜率是函数在该点的导数，这样就建立了一个方程。
那个点也是在切线上的，这样就又建立一个方程。
由以上两个方程构成方程组，就可以解出a和b。
对f(x)求导，得f'(x)=a/x+b, f'(1)=a+b
由切线方程知，k=1/2
所以，有a+b=1/2 (1)

由题意知，f(1)=aln1+b=b, 代入切线方程，得1-2b-2=0 ，即b=-1/2 (2)

将（2）代入（1）得a=1
f(x)=lnx-x/2