Question

已知函数f（x）=2x+1x2， x＜?12ln(x+32) ， x≥?12，g（x）=x2-4x-4．若存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，

已知函数f（x）=2x+1x2， x＜?12ln(x+32) ， x≥?12，g（x）=x2-4x-4．若存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，则实数b的取值范围是______．

Answer 1

当x＜?

1

2

时，2x+1＜0，(2x+1)+

1

2x+1

≤-2，
∴

1

4

[(2x+1)+

1

2x+1

]?

1

2

≤-1，
∴

2x+1

x2

=

2x+1

1 4 (2x+1)2? 1 2 (2x+1)+ 1 4

=

1

1 4 [(2x+1)+ 1 2x+1 ]? 1 2

∈[-1，0），
当x≥?

1

2

时，x+

3

2

≥1，ln(x+

3

2

)∈[0，+∞），
∴f（x）=

2x+1 x2 ， x＜? 1 2 ln(x+ 3 2 )  ， x≥? 1 2

∈[-1，+∞），
若存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，
则g（b）=b²-4b-4≤1，
即b²-4b-5≤0，
解得b∈[-1，5]，
故答案为：[-1，5]