Question

已知函数f（x）= 1+alnx x ，（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2

已知函数f（x）= 1+alnx x ，（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）在（1）条件下，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切，求实数k的值．

Answer 1

（1）∵f（x）= 1+alnx x ∴f ′ （x）= a-1-alnx x 2 ∵函数f（x）在x=1处取得极值 ∴f ′ （1）=a-1=0 ∴a=1 经检验，a=1时f ′ （x）=- lnx x 2 故0＜x＜1时f ′ （x）＞0，x＞1时f ′ （x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减故f（x）在x=1处取得极值． ∴a=1 （2）由（1）可知a=1 ∴f（x）= 1+lnx x ∴f ′ （x）=- lnx x 2 设切点A（x 0 ，y 0 ） ∴k=f ′ （x 0 ）=- In x 0 x 20 又∵k=k OA = 1+ln x 0 x 0 2 ∴ 1+In x 0 x 20 =- In x 0 x 20 ∴lnx 0 =- 1 2 ∴ x 0 =  e - 1 2 ∴k=k OA = 1+ln x 0 x 0 2 = 1- 1 2 ( e - 1 2 ) 2 = e 2